Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N
e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No
século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema
numérico.Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As
reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um
conjunto com infinitos números.Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1. (b) O sucessor de 0 é 1. (c) O sucessor de 1 é 2. (d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor
do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
(a) O antecessor do número m é m-1. (b) O antecessor de 2 é 1. (c) O antecessor de 56 é 55. (d) O antecessor de 10 é 9.
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais
ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o
conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no
conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A=B
(lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato
por:Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?
159 | 170 | |
---|---|---|
852 | 321 | |
587 | 587 |
- Conjunto N dos números Naturais
- Conjunto P dos números Naturais Pares
- Conjunto I dos números Naturais Ímpares
- Conjunto E dos números Naturais menores que 16
- Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
- Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28
- Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no
conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é
construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade
reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes
de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas
por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de
ábacos.
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números
naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um
número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é
conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de
composição interna no conjunto N.
- Associativa: A adição no conjunto dos números
naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o
segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um
resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o
terceiro.
- Elemento neutro: No conjunto dos números
naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número
natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado
será o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a
adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo
resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.
Curiosidade: Tabela de adição
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma
coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a.
linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos
números.0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número
denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as
unidades do segundo número denominado multiplicador.Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados
que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x,
para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no
conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou
mais númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de
multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A
multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3
ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro
fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número
natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo
produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60 - Elemento Neutro: No conjunto dos números
naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1.
Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7 - Comutativa: Quando multiplicamos dois números
naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja,
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo
resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é
o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir
adicionar os resultados obtidos.
m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas
vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o
maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O
resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor
pelo quociente obteremos o dividendo.No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se
admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:
n ÷ 0 = qe isto significaria que:
n = 0 x q = 0o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é
m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que
neste caso é n. O resultado é donominado potência.m aparece n vezes
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
43 = 4 × 4 × 4 = 64
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
- 13 = 1×1×1 = 1
- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:
(a) nº = 1 (b) 5º = 1 (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é
carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que
necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link
Zero elevado a zero?
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:
(a) n¹ = n (b) 5¹ = 5 (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.
Exemplos:
- 103 = 1000
- 108 = 100.000.000
- 10o = 1
Potenciação com o browser
Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:
javascript:Math.pow(12,5)
exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em
seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento
(location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma
nova janela com a resposta248832Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.
Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
1 Googol = 10100
Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que
passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode
ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o
número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da
ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol
Exercícios
- Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.
- Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:
Olá minhas 100 pombinhas. Uma delas respondeu: Não somos 100 não meu caro gavião, seremos 100, nós, mais dois tantos de nós e mais você meu caro gavião. Quantos pombos há neste grupo?
- Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
- Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.
Construída por Everton Cirillo e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005. |
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