Teoria
dos números: a rainha da Matemática
A teoria dos números
é o estudo dos números naturais ou inteiros positivos 1, 2, 3,
4,... e suas propriedades. O matemático Leopold Kronecker certa vez
observou que, ao se tratar de matemática, Deus criou os números
naturais e o resto é obra da humanidade. Contudo, os inteiros
positivos representam, sem sombra de dúvida, a primeira criação
matemática humana, e é difícil imaginar a humanidade destituída
da habilidade de contar.
Embora os números
naturais constituam, em um certo sentido, o sistema matemático mais
elementar, o estudo de suas propriedades tem exercido grande fascínio
na mente humana desde as mais remotas épocas da antiguidade,
desafiando inúmeras gerações de matemáticos e leigos, que
apreciam os seus enunciados simples e intrigantes, cujas demonstrações
estão além de qualquer simplicidade.
Dentre os
tesouros do antigo Egito se encontra o papiro Rhind descrevendo a
matemática praticada no Egito há aproximadamente 2000 anos a.C..
Registros históricos mostram que os sumérios desenvolveram algum tipo de aritmética pois, por
volta de 3500 a.C., possuíam um calendário e, por volta de 2500
a.C., desenvolveram um sistema numérico utilizando o número 60
como base. Os babilônios seguiram essa tradição e se tornaram exímios
calculistas; tábuas de barro da Babilônia, datando de 2000 a.C.,
foram encontradas com elaboradas tabelas matemáticas. Ao final do
terceiro milênio a.C. tábuas cuneiformes da Mesopotâmia mostravam
que a Aritmética já era bastante sofisticada.
Os números
foram utilizados nas transações comerciais por mais de 2000 anos
até que se pensasse em estudá-los de forma sistemática. A
primeira abordagem científica ao estudo dos números inteiros,
isto é, a verdadeira origem da teoria dos números, é
geralmente atribuída aos gregos. Por volta de 600 a.C. Pitágoras e
seus discípulos fizeram vários estudos interessantes. Eles foram
os primeiros a classificar os inteiros de várias maneiras: números
pares, ímpares, primos, etc..
Na
verdade não são exatamente os números naturais que exercem
fascínio estético, místico e prático, mas as relações que eles
estabelecem entre si. É dentro dessas relações profundas e sutis
que se encontra a beleza, encanto e fascínio que os números
exercem através das gerações.
A teoria
dos números é a área da matemática cujo objetivo é
descobrir e estabelecer as relações profundas e sutis que números
de tipos diferentes guardam entre si. Por exemplo, considere os quadrados
dos números naturais 1, 4, 9, 16, 25,... . Se tomarmos a soma
de dois quadrados, eventualmente obteremos como resultado um
outro quadrado. O exemplo mais famoso é:
, mas existem outros exemplos:
,
, e muitos outros. As ternas deste tipo, (3, 4, 5), (5, 12, 13),
(20, 21, 29), são denominadas ternas pitagóricas. Por outro
lado
não é um quadrado. Portanto seguem questões como “Existem
infinitas ternas pitagóricas?”
e “ Se a resposta for positiva, poderemos encontrar uma fórmula
que as descrevam em sua totalidade?”. Esses são alguns dos tipos
de questões que a teoria dos números investiga.
A
teoria dos números é povoada por uma variedade enorme de
objetos: números primos, quadrados,
ímpares e perfeitos;
conjuntos dos números racionais, algébricos,
e transcendentes, algumas funções
analíticas bastante específicas tais como séries
de Dirichlet e formas modulares;
equações tais como a de Fermat e de Pell, curvas
elípticas, códigos, alguns objetos
geométricos tais como reticulados,
feixes sobre Z e muitos outros que
encontraremos em nossa jornada através da teoria dos números.
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